Direct3D 벡터의 내적, 외적_2일차

안녕하세요 이번 시간에는 저번 시간에 배운 벡터의 개념에 이어

벡터의 내적과 외적에 대해 배워보겠습니다.

※제 수업은 이전주차에서 배운 개념을 재차 설명하지 않습니다※

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1. 벡터의 내적

Direct3D에서 벡터의 내적이란 두 벡터가 있을 때,

이 두 벡터가 이루는 각의 크기가  θ(세타)값일 때 두 벡터가 내적했다고 정의합니다.

 

이전 시간에 벡터는 크기와 방향을 가진 선분의 형태를 띈다고 했는데, 크기만 가진 벡터를 스칼라 값이라 했습니다.

두 벡터의 내적값을 구하면 그 결과는 스칼라 값이 나옵니다.

벡터 u = (u_x, u_y, u_z)와 v = (v_x, v_y, v_z)가 있다고 할 때, 두 벡터의 내적을 구하는 공식은 다음 두 가지가 있습니다.

하나는 내적 값, 다른 하나는 내적 각도를 구하는 공식입니다.

• uv = u_xv_x + u_yv_y + u_zv_z
• uv = ||u|| ||v|| cosθ

즉, 내적은 두 벡터끼리 대응하는 성분을 곱해서 더한 결과라고 보시면 됩니다.

cosθ는 쉽게 말해 두 벡터 길이를 서로 나눈 값이라고 생각하시면 됩니다.

1. uv의 결과가 0이면 두 벡터의 상태는 직교(수직) 상태입니다.
2. uv의 결과가 0보다 크면 두 벡터는 예각을 이룹니다.
3. uv의 결과가 0보다 작으면 두 벡터는 둔각을 이룹니다.

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2. 벡터의 외적

Direct3D에서 벡터의 외적이란 내적과 조금 다른 개념을 가집니다.

내적은 두 벡터가 이루는 각의 크기를 구하는 것이라면, 외적은 두 벡터의 결과가 스칼라 값이 아닌 또 다른 벡터가 나오는 결과를 가집니다. 즉, 외적은 그냥 두 벡터를 곱하면 또 다른 벡터가 나온다고 생각하시면 됩니다.

여기서 주의하실 점은 외적은 오로지 3차원 벡터(x, y, z축을 가진 벡터), 좀 더 구체적으로 말하면 3차원 세계에서만 구할 수 있습니다. 반대로 말하면 2차원 벡터(x, y축만 가진 벡터)에서는 외적을 구할 수 없습니다.

이는 하단 그림을 보시면 조금 이해하기 쉬우실 겁니다.

 

벡터 u와 v가 있다고 했을 때, 이 두 벡터를 외적하면 또 다른 벡터인 w가 나옵니다.

여기서 w 벡터는 u와 v와 직교 상태입니다. 외적 공식은 다음과 같습니다.

• w = uv = (u_yv_z - u_zv_y, u_zv_x - u_xv_z, u_xv_y - u_yv_x)

자 그럼 예시를 들어보겠습니다.

벡터 u = (3, 6, -2)와 v = (2, 0, 1)가 있을 때 또 다른 벡터 w의 값은 다음과 같습니다.

• w = uv
•     = (3, 6, -2) x (2, 0, 1)
•     = [6x1 - (-2)x0, (-2)x2 - 3x1, 3x0 - 6x1)]
•     = (6, -7, -6) 

추가로 w가 u, v와 직교인지 확인하는 방법은  다음과 같습니다.

uv = 0이면 즉, 벡터 u와 v가 0인 상태에서 wu의 값과 wv의 값이 동일하면 w는 u와 v와 직교입니다.

벡터 u = (2, 1, 3), v = (2, 0, 0), w = (0, 6, -2)가 있다고 가정해 보겠습니다.

결과값은 두 벡터 모두 0으로 w는 u와 v와 직교입니다.

• wu = (0, 6, -2) x (2, 1, 3) = 0 + 6 +(-6) = 0
• wv = (0, 6, -2) x (2, 0, 0) = 0 + 0 + 0 = 0

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오늘은 Direct3D에서 벡터를 이용한 내적과 외적을 구하는 공식에 대해 알아봤습니다.

다음 시간에는 벡터의 위치를 서술하는 벡터의 점과

Direct3D에서 벡터와 관련해 사용하는 라이브러리 기능에 대해 알아보겠습니다.